Приклад №18
Приклад.
У фірмі працює 500 співробітників. Знайти ймовірність того, що у двох співробітників день народження припаде на новий рік, вважаючи, що ймовірність народитися у фіксований день становить 1/365.
Розв'язання. Маємо: n=500, p=1/365, λ=np=500/365=100/73, k=2;
Обчислення ж за біномною формулою дають P500(2)=0,2388347. Бачимо, що |P500(2)-0,2384517|=0,000383<0,003753=np2.
Отже, оцінка (3) в даному випадку правильна.
Локальна формула Муавра-Лапласа. Нехай імовірність успіху в кожному з п незалежних випробувань за схемою Бернуллі рівна p, 0
n(k) появи k успіхів в п випробуваннях обчислюється за наближеною формулою:
де − функція Гаусса.
При цьому встановлено, що відносна похибка формули (4) наближається
до нуля, коли .
Функція Гаусса табульована. В більшості підручників наведено значення ϕ(x) для 0≤x≤3,99. Для обчислення значень ϕ(x) при від'ємних значеннях -3,99≤x≤0 використовуємо парність функції ϕ(x), а для |x|>3,99 приймаємо, що ϕ(x)=0.
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа. Нехай імовірність успіху в кожному з n незалежних випробувань за схемою Бернуллі рівна p, 0
n– кількість успіхів в п випробуваннях. Тоді
для всіх а, b.
Спираючись на цю теорему, для великих значень п записують наближену формулу для ймовірності P{k1≤µn≤k1. Щоб отримати її, введемо позначення
Тоді
де
Для простішого запису отриманої наближеної формули вводять функцію Лапласа
Оскільки
то остаточно отримаємо