Get Adobe Flash player

Приклад №15

Приклад.

Монету кидають двічі. Нехай А – подія, яка полягає в тому, що за першим разом випав герб, В– подія, яка полягає в тому, що за другим разом випав герб. З'ясувати, чи будуть незалежними події А і В.

Розв'язання. Простором елементарних подій даного експерименту є множина Ω={ГГ, ЦЦ, ГЦ, ЦГ}. Тоді

А={ГГ, ГЦ}, В={ГГ, ЦГ}, АВ={ГГ}

i P(A)=P(B)=2/4=1/2, P(AB)=1/4. Отже,P(AB)=P(A)P(B), тому випадкові події А і В – незалежні.

Приклад.

На площину кидають тетраедр, три грані якого пофарбовані відповідно в червоний, синій, жовтий кольори, а на четверту грань нанесено всі три кольори. Розглянемо випадкові події: А1 – випаде грань із червоним кольором; А2 – випаде грань із синім кольором; А3 – випаде грань із жовтим кольором. З'ясувати, чи будуть ці події незалежними в сукупності.

Розв'язання. Очевидно, що P(A1)=P(A2)=P(A3)=2/4=1/2; P(A1)P(A2)=1/4=P(A1)P(A2); P(A1A3)=1/4=P(A1)P(A3); P(A2)P(A3)=1/4=P(A2)P(A3).

Отже, події A1,A2,A3− попарно незалежні. Проте ці події не є незалежними в сукупності, бо

P(A1A2A3)=1/4 P(A1)P(A2)P(A3)=1/8.

Задача. Нехай A1,A2,...,An– випадкові події, незалежні в сукупності, і їхні ймовірності P(A1),P(A2),...,P(An) є відомі. Знайти ймовірність події А, яка полягає в тому, що в результаті виконання експерименту відбудеться хоча б одна з подій A1,A2,...,An.

Розв'язання. З умови задачі випливає, що . Розглянемо протилежну подію . Ця подія полягає в тому, що в результаті виконання експерименту не відбудеться жодної з подій A1,A2,...,An, тобто одночасно відбудуться події . Томy  , і внаслідок незалежності подій    

P( )=P( 1)P( 2)·...·P( n).

Отже,

P(A)=1-P( )=1-P( 1)P( 2)·...·P( n)

тобто ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подій A1,A2,...,An дорівнює різниці між одиницею і добутком імовірностей протилежних до них подій.