Get Adobe Flash player

Лекція 14. Класичне означення ймовірностi

Нехай простір елементарних подій є скінченною множиною Ω = { ω12,...,ωn}, N(Ω)=N, тобто є лише N можливих результатів випробування, отже, множина Ω є повною групою всіх попарно несумісних результатів випробування.

Вважатимемо додатково, що всі елементарні події рівноможливі, тобто з міркувань симетрії або якихось інших випливає, що нема об'єктивних причин вважати одну з елементарних подій більш імовірною порівняно з іншими. Наприклад, якщо експеримент полягає в одноразовому киданні грального кубика правильної форми, виготовленого з однорідного матеріалу, то всі 6 результатів цього випробування природно вважати рівноможливими.

Класичне означення ймовірності формулюють для подій, які є підмножинами множини Ω. Якщо A = {ωi1i2,...,ωiN(A)}, дe

1≤i1 ‹ i 2 ‹ ... ‹ i N(A)≤N, N(A) =0,1,2,...,N,

то ймовірність події А визначають за формулою:

де N(A) – кількість елементів множини А.

Отже, ймовірністю події А називається відношення кількості сприятливих для події А елементарних подій до кількості всіх рівноможливих і попарно несумісних результатів випробування.

Визначена за формулою (1) функція Р(А) задовольняє всі аксіоми теорії ймовірностей. З формули (1) випливає, що ймовірність кожної елементарної події ωi рівна

.

Отож класична схема означення ймовірності може служити моделлю тих випадкових явищ, для яких є природним припущення (2).

Приклад.

Знайти ймовірність того, що кількість очок, яка випаде при одноразовому киданні кубика, буде а) парною (подія А); б) кратною трьом (подія В).

Розв'язання

Ω = {ω12,..,ω6}, B = {ω36}, N(A)=3, N(B)=2,

Геометричні ймовірності

Класичне означення ймовірності не можна застосувати до випробування, для якого множина Ω є незліченною множиною елементарних подій.

Нехай простір елементарних подій Ω – це відрізок числової прямої або область на площині, або в просторі, а елементарні події ω – окремі точки в межах цієї області. Припустимо, що область Ω має скінченну міру ( ) µ Ω (на прямій – довжину, на площині – площу, у просторі – об'єм). Розглянемо систему F підмножин простору Ω, які мають міру. Відомо, що вони утворюють σ-алгебру. Множини з F назвемо випадковими подіями. Якщо експеримент має властивість симетрії щодо елементарних результатів (наприклад, деякий "точковий" об'єкт "навмання" кидаємо в межах області), то всі елементарні події "рівноправні", тож природно припустити, що ймовірність попадання елементарної події ω у будь-яку частину Ω пропорційна мірі цієї частини і не залежить від її розташування і форми. Тоді ймовірність будь-якої події A∈F можна обчислити, користуючись таким означенням.

Означення. Геометричною ймовірністю події А називається відношення міри µ(A) до міри µ(Ω), тобто

Можна показати, що геометрична ймовірність задовольняє всі аксіоми теорії ймовірностей.

Зауваження. За класичного означення ймовірності P(A) = 0 лише для А=Ø. За геометричного це не так. Справді, нехай Ω – плоска область, А – точка або лінія, розміщена в Ω. Тоді за формулою геометричної ймовірності P(A) = 0, хоча подія А є можливою – точка в разі її "кидання" на Ω може потрапити на А.