Get Adobe Flash player

Приклад №9

Приклад.

У грошовій лотереї розігрується 2 виграші по 1000 грн, 10 виграшів по 100 грн і 100 виграшів по 10 грн за загальної кількості білетів 10000. Визначити закон розподілу випадкової величини Х – виграшу власника одного лотерейного білета.

Розв'язання. Можливими значеннями дискретної випадкової величини Х є числа x1=1000, x2=100, x3=10, x4=0. Відповідні їхні ймовірності обчислюємо за формулою: pk=nk/n, де nk – кількість виграшних білетів на відповідну суму гривень, n – кількість всіх білетів лотереї. Одержимо:

Закон розподілу випадкової величини Х запишемо у вигляді таблиці:

  X=xk   1000   100   10   0
  P=pk   0,0002   0,001   0,01   0,9888

Приклад.

Дискретна випадкова величина Х має закон розподілу ймовірностей, що заданий таблицею:

  X=xk   -2   1   4   6
  P=pk   0,2   0,1   0,3   0,4

Знайти функцію розподілу випадкової величини Х.

Розв'язання. Якщо x≤-2, то F(x)=P{X‹x}=0, бо подія X‹x} неможлива.

Якщо -2‹x≤1, то F(x)=P{X‹x}=0,2, бо подія {X‹x} є сумою двох несумісних подій: {X=-2}, яка має ймовірність 0,2, і {X=1}, яка має ймовірність 0,1.

Якщо 4‹x≤6, то F(x)=P{X‹x}=0,2+0,1+0,3=0,6, бо подія {X‹x} є сумою трьох несумісних подій: {X=-2}, яка має ймовірність 0,2, {X=1}, яка має ймовірність 0,1 і {X=4}, яка має ймовірність 0,3.

Якщо x>6, то F(x)=P{X‹x}=1, бо подія {X‹x} є вірогідною.

Отже, функція розподілу заданої дискретної випадкової величини має такий аналітичний вигляд:

Графік функції розподілу дискретної випадкової величини має "східчастий" характер

Основні закони розподілу дискретних випадкових величин

Біномний закон розподілу. Нехай проводиться n незалежних випробувань за схемою Бернуллі і p=P(A) − імовірність появи події А в кожному окремому випробуванні. Сформулюємо задачу: написати закон розподілу дискретної випадкової величини Х – кількості появ події А в цих n випробуваннях.

Випадкова величина Х може набути значень

x0, x1, x2, ... , xn=n.

Імовірності можливих значень xk випадкової величини Х обчислимо за біномною формулою:

і одержимо закон розподілу описаної випадкової величини Х, який називається біномним.

  X=xk   0   1   2   ...   n
  P=pk   qn       ...   pn

Раніше ми вже переконалися, що

Приклад.

Прилад складається з чотирьох елементів і ймовірність наявності технічних неполадок у кожному з них становить 0,5. Написати закон розподілу випадкової величини Х – кількості елементів приладу, в яких наявні технічні неполадки.

Розв'язання. Можливими значеннями дискретної випадкової величини Х є числа x0=0, x1=1, x2=2, x3=3, x4=4. За біномною формулою обчислимо відповідні ймовірності цих значень, знаючи, що p=q=1/2:

Зробимо перевірку: p0+p1+p2+p3+p4=1/16+1/4+3/8++1/4+1/16=1. Закон розподілу даної випадкової величини має форму таблиці:

  X=xk   0   1   2   3   4
  P=pk   1/16   1/4   3/8   1/4   1/16

З таблиці видно, що найімовірніша кількість елементів приладу, в яких є технічні неполадки, k0=2.

Розподіл Пуассона. Розподіл імовірностей дискретної випадкової величини Х, яка набуває значень

xk:0,1,2, ..., n, ...

з імовірностями

називається законом розподілу Пуассона, що залежить від параметра λ, λ>0.

Розподіл Пуассона записують у формі таблиці:

  X=xk   0   1   2   ...   n   ...
  P=pk   e       ...     ...

Сумуючи всі ймовірності розподілу Пуассона і використовуючи рівність

отримуємо підтвердження основної властивості розподілу:

Під час вивчення схеми Бернуллі було зауважено, що при великих п для обчислення ймовірностей Pn(k) доцільно використовувати асимптотичні формули Пуассона, які полегшують ці обчислення. Зокрема, з асимптотичної формули Пуассона випливає, що за допомогою розподілу Пуассона можна апроксимувати біномний закон розподілу, коли кількість експериментів n необмежено зростає

(n      ) й одночасно ймовірність успіху в одному експерименті необмежено зменшується (p    0) так, що їх добуток nр наближається до числа

 

Приклад.

Електронна пошта банку підтримує зв'язки із сотнею абонентів. Імовірність того, що за одиницю часу на електронну пошту надійде повідомлення від абонента, становить 0,02. Написати закон розподілу випадкової величини Х – кількості повідомлень від абонентів за одиницю часу.

Розв'язання. У даному випадку проводиться n=100 випробувань за схемою Бернуллі, і випадкова величина Х може набувати значень x0=0, x1=1, x2=2, x3=3, x4=4, ..., x100=100. Імовірність події А – надходження повідомлення від одного абонента є мала, а число n=100 – велике і λ=100·0,02=2, тому відповідні ймовірності обчислюємо за формулою (1):

Закон розподілу описаної в задачі випадкової величини Х записуємо у формі таблиці:

  X=xk   0   1   2   3   4   ...
  P=pk   0,1353   0,2707   0,2707   0,1804   0,0902   ...

З таблиці видно, що найімовірніша кількість повідомлень від абонентів за одиницю часу – одне або два.