Get Adobe Flash player

Лекція 16. Формула повної ймовірності. Формули Байєса

Припустимо, що подія А може відбуватися в різних умовах, яким відповідають попарно несумісні події H1,H2,...,Hn, які утворюють повну групу і які назвемо гіпотезами. Нехай відомі ймовірності P(H1),P(H2),...,P(Hn) та умовні ймовірності P(A/H1),P(A/H2),...,P(A/Hn). Як знайти P(A) в даній ситуації?

Теорема.

Якщо H1,H2,...,Hn− повна група попарно несумісних подій і P(Hi)>0, , то для будь-якої події А справедлива рівність:

Доведення. Оскільки події H1,H2,...,Hn утворюють повну групу подій, то H1+H2+...+Hn=Ω, і подію А можна записати так:

A = AΩ = A(H1+H2+...+Hn)=H1A+H2A+...+HnA, де всі доданки у правій частині – попарно несумісні події. Використовуючи аксіому адитивності та теорему множення ймовірностей, маємо:

що й треба було довести.

Рівність (1) називають формулою повної ймовірності. Вона виражає ймовірність події А за умови, що відбулася одна і тільки одна з попарно несумісних подій H1,H2,...,Hn.

Якщо додатково припустити, що P(A)>0, то за теоремою множення ймовірностей можемо записати:

P(AHk)=P(A)P(Hk/A), звідки

або

Формули (2) називаються формулами Байєса (формулами ймовірностей гіпотез). Їм можна дати таке тлумачення. Нехай подія А може відбуватись в різних умовах, щодо характеру яких можна зробити п припущень (гіпотез) H1,H2,...,Hn. Ймовірності цих гіпотез P(Hk) нам відомі, як і умовні ймовірності P(A/Hk) події А за умови здійснення кожної гіпотези. Якщо в результаті експерименту подія А відбулась, то за формулами Байєса ми можемо переоцінити ймовірності кожної з гіпотез, знайшовши P(Hk/A).

Приклад.

Зі скриньки, яка містить 5 білих і 3 чорних кулі, одна куля невідомого кольору загублена. Яка ймовірність витягнути навмання зі скриньки білу кулю (подія А)? Яка ймовірність того, що загублено чорну кулю, якщо витягнута навмання куля виявилась білою?

Розв'язання. Тут можливі дві події-гіпотези: Hk− загублено k білих куль (k=0; 1). Очевидно, події H0,H1 − несумісні й утворюють повну групу, а їхні ймовірності становлять: P(H0)=3/8, P(H1)=5/8. Відповідні умовні ймовірності події A = AH0+AH1 становлять: P(A/H0)=5/7, P(A/H1)=4/7. За формулою повної ймовірності

Ймовірність P(H0/A) обчислимо за формулою Байєса: