Get Adobe Flash player

Лекція 1. ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ

У повсякденному житті нам часто доводиться зустрічатися з різними явищами і фактами, які ми називаємо випадковими. Зокрема, інформація, на основі якої розв'язуються практичні задачі в економіці, зазвичай носить наближений, неточний, випадковий характер. Наприклад, власник магазину не знає, скільки буде покупців, бізнесмен – яким буде завтра курс гривні, банкір – чи повернуть йому позику. Але й у випадкових фактах за певних умов можуть бути виявлені певні закономірності. Ці закономірності вивчає теорія ймовірностей. Для розв'язання задач, пов'язаних з аналізом економічної інформації, використовують ймовірнісні та статистичні методи, оскільки характерною особливістю теорії ймовірностей є те, що вона розглядає явища, в яких в тій чи іншій формі присутня невизначеність.

Широко розповсюджене уявлення пов'язує невизначеність і, отже, ймовірність з такими ситуаціями як гра в кості, в рулетку, витягування карт з колоди і т.п. Саме потреба у розв'язуванні практичних задач, пов'язаних з азартними іграми, а також з питаннями страхування і демографії, якими в середині 17 ст. займались такі відомі вчені як Ґюйгенс, Паскаль, Ферма і Яків Бернуллі, призвела до виникнення теорії ймовірностей як самостійної науки. Як і в кожній математичній дисципліні, в теорії ймовірностей існують деякі початкові, первісні поняття, які покладені в її основу. Першим таким поняттям є поняття випадкової події. До нього приходимо так.

По-перше, під подією розуміємо таку дію, про яку можна сказати, що вона відбулась, або відбувається, або може відбутись, або неможлива.

Приклади:

1) 1 вересня почалось навчання в ЛНУ ім. І.Франка (подія відбулась).

2) При киданні монети герб випаде зверху (може відбутись, може не відбутись).

3) Витягнути зелену кульку зі скриньки, яка містить 1 білу і 1 чорну кульку (неможлива подія).

По-друге, поняття випадкової події пов'язане з заданням певного комплексу умов.

Приклади комплексів умов:

1) На тверду плоску рівну поверхню кидається кубик правильної форми, виготовлений з однорідного матеріалу, з гранями, позначеними одним, двома,..., шістьома очками.

2) Ведеться спостереження за певною частиною неба в зоряну ніч протягом деякого проміжку часу.

3) Серед населення якого-небудь населеного пункту вибирають навмання 100 чол.

Процес реалізації певного комплексу умов називається експериментом. Тепер можемо дати означення випадкової події. Випадкова подія – це подія, яка може відбутись або не відбутись в результаті здійснення деякого експерименту, тобто в результаті реалізації певного комплексу умов.

Приклади випадкових подій (в зв'язку з вищевказаними комплексами умов):

1) Випадання грані кубика з парною кількістю очок.

2) Поява комети.

3) Наявність хоча б 10-ти чоловік з вищою освітою серед вибраних ста чоловік.

Якщо під час кожної реалізації заданого комплексу умов подія обов'язково відбувається, то вона називається вірогідною. Якщо ж в результаті експерименту подія обов'язково не відбудеться, то це – неможлива подія.

Очевидно, що після одноразового здійснення експерименту, ми не виявимо закономірностей, які властиві для конкретної випадкової події. Однак закономірності можна виявити, якщо здійснювати експеримент багаторазово в однакових умовах.

Наприклад, дані реєстрації народжувань дітей в невеликому населеному пункті за невеликий період часу не дають стійких співвідношень між кількістю народжених хлопчиків і дівчаток. Однак якщо зібрати статистичні дані по всій країні за тривалий період (кілька десятиріч) і проаналізувати їх, то виявиться певна закономірність: на кожну 1000 народжених припадає в середньому 515 хлопчиків.

Отже, другим з початкових понять теорії ймовірностей є поняття масовості явищ (подій).

Масові явища розглядаються як протилежність до одиничних і масовість може проявлятись:

1) в часі;

2) в просторі;

3) і в часі, і в просторі.

Тепер ми можемо остаточно сформулювати, що є предметом теорії ймовірностей.

Предметом теорії ймовірностей є вивчення кількісних закономірностей, характерних для масових однорідних випадкових подій.

Теорія ймовірностей є теоретичною базою для математичної статистики.

Предмет математичної статистики – дослідження закономірностей, яким підпорядковані масові випадкові явища, на підставі статистичних даних – результатів спостережень. Ці закономірності вивчають за допомогою методів теорії ймовірностей.

Статистичне означення ймовірності

Нехай деякий експеримент здійснюється п разів і при цьому в результаті m випробувань відбувається подія А. Відношення m/n називається відносною частотою появи події А в серії з п випробувань. Теорія ймовірностей вивчає лише такі події, для яких має місце властивість стійкості частот. Вона полягає в тому, що частота появи події А при великій кількості випробувань мало відрізняється від деякого числа.

Наприклад, якщо багато разів підкидати монету, то частота випадання герба буде мало відрізнятися від 1/2. Частота народження хлопчика для великої кількості проаналізованих даних буде мало відрізнятися від 0,515.

Звідси, логічно міркуючи, отримуємо так зване статистичне означення ймовірності. Ймовірністю події називається об'єктивно існуюча величина, навколо якої групуються відносні частоти цієї події при великій кількості випробувань. Позначаємо Р(А) – ймовірність події А.

Легко зрозуміти, що за значеннями відносних частот можна отримати лише наближене значення ймовірності, тому з точки зору математики таке означення є недосконалим.

Якщо формулювати досконале статистичне означення з точки зору математики, то можна сказати, що ймовірністю події є границя, до якої прямує відносна частота появи події при необмеженому зростанні кількості випробувань:

.

Це означення належить німецькому математику Ріхарду Мізесу.