Лекція 3. Простір елементарних подій. Операції над випадковими подіям
Простором елементарних подій ( Ω ) назвемо множину, елементами якої є всі елементарні події, пов'язані з даним випробуванням.
Під елементарними подіями ( ω ) ми розуміємо всі нерозкладні результати даного випробування, які взаємно виключають один одного.
Приклади.
1) Підкидання монети 1 раз. Можливі результати у цьому експерименті: випадання герба (елементарна подія Г або ω1); випадання цифри (елементарна подія Ц або ω2). Ω={Г, Ц} або Ω={ ω1, ω2}.
2) Підкидання грального кубика 1 раз. Тоді Ω={ ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6}, де ωk – випадання k очок.
3) Підкидання монети 2 рази. Ω={ГГ, ЦЦ, ГЦ, ЦГ}.
4) Стрільба по плоскій мішені. Введемо в площині мішені прямокутну систему координат хОу і влучанню в певну точку площини поставимо у відповідність координати цієї точки. Тоді простором елементарних подій є вся площина, тобто множина всіх впорядкованих пар дійсних чисел:
.
Нехай Ω – довільний простір елементарних подій. Випадковими подіями або просто подіями назвемо підмножини А множини Ω. Отже, ми поняття подія ототожнюємо з поняттям множина. Для прикладу 2 (підкидання кубика) подіями є: А={ ω1, ω3, ω5} – випадання непарної кількості очок; В={ ω2, ω4, ω6} – випадання парної кількості очок і т.п. Для прикладу 4 (стрільба) подією є будь-яка область А в площині хОу. Подія А відбувається, якщо відбувається влучання в точку (х, у)∈А.
Подію Ω називатимемо вірогідною, вона обов'язково відбудеться в результаті випробування, а подію Ø – неможливою, вона обов'язково не відбудеться в результаті випробування.
Розглянемо відношення, в яких можуть перебувати події одна відносно одної, і операції над подіями.
Означення. Кажуть, що подія А є окремим випадком події В (або подія А тягне за собою В, або В є наслідком А), якщо множина А є підмножиною множини В.
Позначають ці відношення так само як для множин: A B ⊂ або B ⊃ A.
Відношення A ⊂ B означає, що всі елементарні події, які входять до складу А, належать також і до В, тобто кожного разу, коли відбувається подія А, відбувається також і подія В.
Приклади.
1) А={ ω2, ω6}, В={ ω2, ω4, ω6} ⇒ A ⊂ B.
2) Подія А – влучання в область А, подія В – влучання в область В ⇒ A ⊂ B.
Означення. Події А і В називаються рівносильними, якщо A B ⊂ і B ⊂ A. Рівносильність подій позначають так: А=В.
Означення. Сумою двох подій А і В (А+В або A ∪ B ) називається така подія, яка відбудеться тоді і лише тоді, коли відбудеться хоча б одна з подій А або В (або лише А, або лише В, або і А, і В).
Згідно з цим означенням, якщо події А відповідає підмножина А простору Ω, а події В – підмножина В, то події А+В відповідає підмножина A ∪ B, яка складається з усіх елементарних подій, які належать об'єднанню множин А і В.
Приклади.
1) А={ ω2, ω4}, В={ ω4, ω6} ⇒ А+В={ ω2, ω4, ω6}.
2) Подія А – влучання в область А, подія В – влучання в область В ⇒ А+В – влучання хоча б в одну з областей А або В.
Означення. Добутком двох подій А і В (АВ або A ∩ B ) називається така подія, яка відбудеться тоді і лише тоді, коли відбудеться як подія А, так і подія В.
Події АВ відповідає перетин множин А і В, тобто вона складається з елементарних подій, які входять до складу обидвох множин А і В.
Приклади.
1) А={ ω2, ω4}, В={ ω4, ω6} ⇒ A ∩ B ={ ω4}.
2) Подія А – влучання в область А, подія В – влучання в область В ⇒ A ∩ B – влучання в перетин цих областей.
Означення. Різницею двох подій А і В (А–В або A \ B ) називається така подія, яка відбудеться тоді і лише тоді, коли відбудеться подія А, але не відбудеться подія В.
Події А–В відповідає різниця множин А і В, тобто вона складається з елементарних подій, які входять до А, але не входять до В.
Приклади.
1) А={ ω2, ω4}, В={ ω4, ω6} ⇒ А–В ={ ω2}.
2) Подія А – влучання в область А, подія В – влучання в область В ⇒ А–В – влучання в різницю цих областей.
Означення. Протилежною подією до події А називається подія Ω–А,
вона означає, шо подія А не відбулася.
Приклади.
1) А={ ω2, ω4} ⇒ ={ω1, ω3, ω5, ω6}.
2) Подія А – влучання в область А, подія – невлучання в область А.
Означення. Події А і В називаються несумісними, якщо їх добуток є неможлива подія, тобто АВ=Ø.
Несумісність подій А і В означає, що поява події А виключає можливість появи події В, і навпаки.
Приклад.
А={ ω2, ω4}, В={ ω3, ω5} ⇒ А і В – несумісні.
Поняття суми і добутку подій поширюються на випадок будь-якої
скінченної, а також зліченної кількості подій. Зокрема, подія відбувається тоді і лише тоді, коли відбувається принаймні одна з подій Ai, i=1,2,..., а подія
відбувається тоді і лише тоді, коли
відбуваються всі події Ai, i=1,2,....
Означення. Події A1,A2,...,An утворюють повну групу подій, якщо в результаті виконання експерименту принаймні одна з цих подій обов'язково відбудеться, тобто A1,A2,...,An = Ω.
Особливо істотними для нас надалі будуть повні групи попарно
несумісних подій. Такою, зокрема, є сукупність усіх елементарних подій у
випадку, коли Ω є скінченна множина. Повну групу попарно несумісних подій
завжди утворюють будь-яка подія А та протилежна до неї подія , оскільки
A ·
= Ø, A +
= Ω.
Для довільних подій безпосередньо з означень операцій над подіями
випливають співвідношення AA=A, A+A=A, (A+B)C=AC+BC, а також закони
де Морґана .
Алгебра і σ-алгебра подій. Аксіоматичне означення ймовірності
Ймовірність – це функція від випадкової події. Функції дійсної змінної, як ми знаємо, зазвичай визначені не для всіх дійсних чисел, а лише для деякої підмножини множини R, яка називається областю визначення. Ймовірність також не завжди вдається визначити для будь-яких підмножин (випадкових подій) множини Ω. Доводиться обмежуватися деяким класом підмножин. Від цього класу природно вимагати, щоб він був замкненим відносно операцій, введених для подій вище.
Означення. Нехай Ω – довільний простір елементарних подій, а S – деяка сукупність випадкових подій. Сукупність подій S називається алгеброю подій, якщо виконуються умови:
1) Ω ∈ S;
2) якщо A ∈ S, B ∈ S, то A + B ∈ S.
Неможлива подія завжди входить до алгебри подій, оскільки Ø=Ω–Ω.
Якщо A ∈ S, то ∈ S, оскільки
= Ω–А. Нарешті, якщо A ∈ S, B ∈ S, то
AB ∈ S, тому що
(це випливає з другого закону де Морґана).
Найменшою сукупністю подій, яка є алгеброю, очевидно, є множина S={Ω,Ø}, оскільки Ω ± Ø=Ω, Ø–Ω=Ø.
Означення. Алгебра подій F називається σ-алгеброю або борелівською
алгеброю, якщо з того, що Ai∈F, і=1,2,..., випливає, що
Зауважимо, що у випадку скінченної множини Ω будь-яка алгебра подій є σ-алгеброю.
Тепер ми можемо ввести поняття ймовірності події.
Означення. Числова функція Р, визначена на σ-алгебрі подій F, називається ймовірністю, якщо
1) P(A)≥0;
2) P(Ω)=1;
3а) АВ=Ø ⇒ P(A+B)= P(A)+P(B)(скінченна адитивність);
3б) якщо в послідовності подій A1,A2,... всі події попарно несумісні, то (зліченна адитивність);
4) Нехай для зростаючої послідовності подій A1⊂A2⊂...⊂An⊂An+1⊂... i або для спадної послідовності подій A1⊂A2⊂...⊂An⊂An+1⊂... i
, тоді
(аксіома неперервності).
Трійку Ω,F,Р), де F – σ-алгебра, а Р – ймовірність, визначена вище, називатимемо ймовірнісним простором.
Наслідки з аксіом
1)P( )=1-P(A).
Доведення. Оскільки A + = Ω, то
2) Р(Ø)=0.
Доведення. Оскільки
3) ∀ A,B P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) - теорема додавання ймовірностей.
Доведення. Оскільки A + B = A+B, де доданки у правій частині – несумісні
події, то
.
Але B=BA+B, тому, аналогічно,
звідки P(B
)=P(B)-P(AB), тому P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).
4) P(A+B)≤P(A)+P(B); P(A1+...+An)≤P(A1)+...+P(An).
Доведення. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)-P(B), оскільки
Для випадку п доданків нерівність можна довести, використовуючи метод математичної індукції.
5) A⊂B ⇒ P(A)≤P(B).
Доведення. Якщо A ⊂ B, то B = BA + B = A + B
, тому
6) ∀ A 0≤P(A)≤1.
Доведення.