Теорія ймовірностей та математична статистика

Простором елементарних подій ( Ω ) назвемо множину, елементами якої є всі елементарні події, пов'язані з даним випробуванням.

Під елементарними подіями ( ω ) ми розуміємо всі нерозкладні результати даного випробування, які взаємно виключають один одного.

Приклади.

1) Підкидання монети 1 раз. Можливі результати у цьому експерименті: випадання герба (елементарна подія Г або ω₁); випадання цифри (елементарна подія Ц або ω₂). Ω={Г, Ц} або Ω={ ω₁, ω₂}.

2) Підкидання грального кубика 1 раз. Тоді Ω={ ω₁, ω₂, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆}, де ω_k – випадання k очок.

3) Підкидання монети 2 рази. Ω={ГГ, ЦЦ, ГЦ, ЦГ}.

4) Стрільба по плоскій мішені. Введемо в площині мішені прямокутну систему координат хОу і влучанню в певну точку площини поставимо у відповідність координати цієї точки. Тоді простором елементарних подій є вся площина, тобто множина всіх впорядкованих пар дійсних чисел:

.

Нехай Ω – довільний простір елементарних подій. Випадковими подіями або просто подіями назвемо підмножини А множини Ω. Отже, ми поняття подія ототожнюємо з поняттям множина. Для прикладу 2 (підкидання кубика) подіями є: А={ ω₁, ω₃, ω₅} – випадання непарної кількості очок; В={ ω₂, ω₄, ω₆} – випадання парної кількості очок і т.п. Для прикладу 4 (стрільба) подією є будь-яка область А в площині хОу. Подія А відбувається, якщо відбувається влучання в точку (х, у)∈А.

Подію Ω називатимемо вірогідною, вона обов'язково відбудеться в результаті випробування, а подію Ø – неможливою, вона обов'язково не відбудеться в результаті випробування.

Розглянемо відношення, в яких можуть перебувати події одна відносно одної, і операції над подіями.

Означення. Кажуть, що подія А є окремим випадком події В (або подія А тягне за собою В, або В є наслідком А), якщо множина А є підмножиною множини В.

Позначають ці відношення так само як для множин: A B ⊂ або B ⊃ A.

Відношення A ⊂ B означає, що всі елементарні події, які входять до складу А, належать також і до В, тобто кожного разу, коли відбувається подія А, відбувається також і подія В.

Приклади.

1) А={ ω₂, ω₆}, В={ ω₂, ω₄, ω₆} ⇒ A ⊂ B.

2) Подія А – влучання в область А, подія В – влучання в область В ⇒ A ⊂ B.

Означення. Події А і В називаються рівносильними, якщо A B ⊂ і B ⊂ A. Рівносильність подій позначають так: А=В.

Означення. Сумою двох подій А і В (А+В або A ∪ B ) називається така подія, яка відбудеться тоді і лише тоді, коли відбудеться хоча б одна з подій А або В (або лише А, або лише В, або і А, і В).

Згідно з цим означенням, якщо події А відповідає підмножина А простору Ω, а події В – підмножина В, то події А+В відповідає підмножина A ∪ B, яка складається з усіх елементарних подій, які належать об'єднанню множин А і В.

Приклади.

1) А={ ω₂, ω₄}, В={ ω₄, ω₆} ⇒ А+В={ ω₂, ω₄, ω₆}.

2) Подія А – влучання в область А, подія В – влучання в область В ⇒ А+В – влучання хоча б в одну з областей А або В.

Означення. Добутком двох подій А і В (АВ або A ∩ B ) називається така подія, яка відбудеться тоді і лише тоді, коли відбудеться як подія А, так і подія В.

Події АВ відповідає перетин множин А і В, тобто вона складається з елементарних подій, які входять до складу обидвох множин А і В.

Приклади.

1) А={ ω₂, ω₄}, В={ ω₄, ω₆} ⇒ A ∩ B ={ ω₄}.

2) Подія А – влучання в область А, подія В – влучання в область В ⇒ A ∩ B – влучання в перетин цих областей.

Означення. Різницею двох подій А і В (А–В або A \ B ) називається така подія, яка відбудеться тоді і лише тоді, коли відбудеться подія А, але не відбудеться подія В.

Події А–В відповідає різниця множин А і В, тобто вона складається з елементарних подій, які входять до А, але не входять до В.

Приклади.

1) А={ ω₂, ω₄}, В={ ω₄, ω₆} ⇒ А–В ={ ω₂}.

2) Подія А – влучання в область А, подія В – влучання в область В ⇒ А–В – влучання в різницю цих областей.

Означення. Протилежною подією до події А називається подія Ω–А, вона означає, шо подія А не відбулася.

Приклади.

1) А={ ω₂, ω₄} ⇒ ={ω₁, ω₃, ω₅, ω₆}.

2) Подія А – влучання в область А, подія – невлучання в область А.

Означення. Події А і В називаються несумісними, якщо їх добуток є неможлива подія, тобто АВ=Ø.

Несумісність подій А і В означає, що поява події А виключає можливість появи події В, і навпаки.

Приклад.

А={ ω₂, ω₄}, В={ ω₃, ω₅} ⇒ А і В – несумісні.

Поняття суми і добутку подій поширюються на випадок будь-якої скінченної, а також зліченної кількості подій. Зокрема, подія відбувається тоді і лише тоді, коли відбувається принаймні одна з подій A_i, i=1,2,..., а подія відбувається тоді і лише тоді, коли відбуваються всі події A_i, i=1,2,....

Означення. Події A₁,A₂,...,A_n утворюють повну групу подій, якщо в результаті виконання експерименту принаймні одна з цих подій обов'язково відбудеться, тобто A₁,A₂,...,A_n = Ω.

Особливо істотними для нас надалі будуть повні групи попарно несумісних подій. Такою, зокрема, є сукупність усіх елементарних подій у випадку, коли Ω є скінченна множина. Повну групу попарно несумісних подій завжди утворюють будь-яка подія А та протилежна до неї подія , оскільки A · = Ø, A + = Ω.

Для довільних подій безпосередньо з означень операцій над подіями випливають співвідношення AA=A, A+A=A, (A+B)C=AC+BC, а також закони де Морґана .

Алгебра і σ-алгебра подій. Аксіоматичне означення ймовірності

Ймовірність – це функція від випадкової події. Функції дійсної змінної, як ми знаємо, зазвичай визначені не для всіх дійсних чисел, а лише для деякої підмножини множини R, яка називається областю визначення. Ймовірність також не завжди вдається визначити для будь-яких підмножин (випадкових подій) множини Ω. Доводиться обмежуватися деяким класом підмножин. Від цього класу природно вимагати, щоб він був замкненим відносно операцій, введених для подій вище.

Означення. Нехай Ω – довільний простір елементарних подій, а S – деяка сукупність випадкових подій. Сукупність подій S називається алгеброю подій, якщо виконуються умови:

1) Ω ∈ S;

2) якщо A ∈ S, B ∈ S, то A + B ∈ S.

Неможлива подія завжди входить до алгебри подій, оскільки Ø=Ω–Ω. Якщо A ∈ S, то ∈ S, оскільки = Ω–А. Нарешті, якщо A ∈ S, B ∈ S, то AB ∈ S, тому що

(це випливає з другого закону де Морґана).

Найменшою сукупністю подій, яка є алгеброю, очевидно, є множина S={Ω,Ø}, оскільки Ω ± Ø=Ω, Ø–Ω=Ø.

Означення. Алгебра подій F називається σ-алгеброю або борелівською алгеброю, якщо з того, що A_i∈F, і=1,2,..., випливає, що

Зауважимо, що у випадку скінченної множини Ω будь-яка алгебра подій є σ-алгеброю.

Тепер ми можемо ввести поняття ймовірності події.

Означення. Числова функція Р, визначена на σ-алгебрі подій F, називається ймовірністю, якщо

1) P(A)≥0;

2) P(Ω)=1;

3_а) АВ=Ø ⇒ P(A+B)= P(A)+P(B)(скінченна адитивність);

3_б) якщо в послідовності подій A₁,A₂,... всі події попарно несумісні, то (зліченна адитивність);

4) Нехай для зростаючої послідовності подій A₁⊂A₂⊂...⊂A_n⊂A_n+1⊂... i або для спадної послідовності подій A₁⊂A₂⊂...⊂A_n⊂A_n+1⊂... i , тоді (аксіома неперервності).

Трійку Ω,F,Р), де F – σ-алгебра, а Р – ймовірність, визначена вище, називатимемо ймовірнісним простором.

Наслідки з аксіом

1)P( )=1-P(A).

Доведення. Оскільки A + = Ω, то

2) Р(Ø)=0.

Доведення. Оскільки

3) ∀ A,B P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) - теорема додавання ймовірностей.

Доведення. Оскільки A + B = A+B, де доданки у правій частині – несумісні події, то

.

Але B=BA+B, тому, аналогічно, звідки P(B)=P(B)-P(AB), тому P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

4) P(A+B)≤P(A)+P(B); P(A₁+...+A_n)≤P(A₁)+...+P(A_n).

Доведення. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤P(A)-P(B), оскільки

Для випадку п доданків нерівність можна довести, використовуючи метод математичної індукції.

5) A⊂B ⇒ P(A)≤P(B).

Доведення. Якщо A ⊂ B, то B = BA + B = A + B , тому

6) ∀ A 0≤P(A)≤1.

Доведення.